Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 0}$

Passaggio 1.3.8

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Passaggio 2.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 4.4

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimale:

$- 0.\overline{3}$