Calcolo Esempi

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Passaggio 2.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.6.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Passaggio 2.6.2

$8$ e $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Passaggio 2.6.3

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ come $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $12 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Passaggio 3.2.4

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $2$ da $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Scomponi $2$ da $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Passaggio 3.2.5.2

Scomponi $2$ da $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Passaggio 3.2.5.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Passaggio 3.2.5.4

Scomponi $2$ da $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Passaggio 3.2.5.5

Scomponi $2$ da $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$