Calcolo Esempi

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 5 x + 1$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 5 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Passaggio 4

$5^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $5^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 15$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $5^{u}$ per $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $5^{u}$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $5$ da $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.3

$- 15$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Passaggio 9.3.4.2.4

Dividi $- 3 x^{5}$ per $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Passaggio 9.3.5

Per scrivere $- 3 x^{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Passaggio 9.3.6

$- 3 x^{5}$ e $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Passaggio 9.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$