Calcolo Esempi

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

Passaggio 2.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Passaggio 2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

Passaggio 2.4.2.5

Dividi $x \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 2.5

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 2.6

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

Passaggio 3

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Passaggio 3.2

Integra $\frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 3.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 3.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 3.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.4

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $x$ da $x \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

Passaggio 5

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

Passaggio 6

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

Passaggio 9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

Passaggio 9.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Passaggio 9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \cos (x) + C) x$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.2.1

Semplifica $(- \cos (x) + C) x$ .

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Passaggio 9.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \cos (x) x + C x$

Passaggio 9.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.3.2.1.2.1

Riordina i fattori in $- \cos (x) x + C x$ .

$y = - x \cos (x) + C x$

Passaggio 9.3.2.1.2.2

Riordina $- x \cos (x)$ e $C x$ .

$y = C x - x \cos (x)$