Calcolo Esempi

$\int 2 (2^{2 x}) d x$

Passaggio 1

Moltiplica $2$ per $2^{2 x}$ .

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Passaggio 1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\int 2^{1} \cdot 2^{2 x} d x$

Passaggio 1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2^{1 + 2 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$2^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $2^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{1 + 2 x} + C$