Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{3 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{3 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{4}{3} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ come $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{9} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{4}{9} t^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{4}{9}$ e $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 \frac{4 t^{3}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$2$ e $\frac{4 t^{3}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{2 (4 t^{3})}{9} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{8 t^{3}}{9} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 t^{3}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + K \cdot 9}{9}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $9$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + 9 K}{9}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{4 t^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 t^{3} + 9 K)}{9}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\frac{2 (4 t^{3} + 9 K)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2 (4 t^{3} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{9}}$

Passaggio 3.4.6.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}$

Passaggio 3.4.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}$

Passaggio 3.4.8

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + K)}}{3}$