Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $- 1$ e $f$ con $3$ in $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3 + K = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 + 3$

Passaggio 4.3.2

Somma $3$ e $3$ .

$K = 6$

Passaggio 5

Sostituisci $6$ a $K$ in $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $6$ a $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$