Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $45$ è costante rispetto a $x$ , sposta $45$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 9 x^{2} + 4$ . Allora $d u = 18 x d x$ , quindi $\frac{1}{18} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 9 x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $9 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $18 x$ e $0$ .

$18 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

Passaggio 2.3.3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{18}$ .

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{18}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{18}$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{18}$ e $45$ .

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $45$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4

Elimina il fattore comune di $10$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.4.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $f$ con $9$ in $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

Passaggio 4.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

$\frac{5}{3}$ e $8$ .

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

Passaggio 4.2.7.2

Moltiplica $5$ per $8$ .

$\frac{40}{3} + K = 9$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{40}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 9 - \frac{40}{3}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Passaggio 4.3.3

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$K = \frac{27 - 40}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $40$ da $27$ .

$K = \frac{- 13}{3}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{13}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{13}{3}$ a $K$ in $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{13}{3}$ a $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{5}{3}$ e ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$