Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d x} = 4 x^{2} - 6 e^{x}$ , $f (0) = - 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d f = (4 x^{2} - 6 e^{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int 4 x^{2} - 6 e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int 4 x^{2} - 6 e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 6 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 6 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (e^{x} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

$4$ e $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 6 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = \frac{4}{3} x^{3} - 6 e^{x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $f$ con $- 5$ in $f = \frac{4}{3} x^{3} - 6 e^{x} + K$ .

$- 5 = \frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 6 e^{0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 6 e^{0} + K = - 5$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 6 e^{0} + K = - 5$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 6 e^{0} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0 - 6 e^{0} + K = - 5$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $0$ .

$0 - 6 e^{0} + K = - 5$

Passaggio 4.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 - 6 \cdot 1 + K = - 5$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$0 - 6 + K = - 5$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6 + K = - 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 5 + 6$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 5$ e $6$ .

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $f = \frac{4}{3} x^{3} - 6 e^{x} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$f = \frac{4}{3} x^{3} - 6 e^{x} + 1$

Passaggio 5.2

$\frac{4}{3}$ e $x^{3}$ .

$f = \frac{4 x^{3}}{3} - 6 e^{x} + 1$