Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (e^{x})$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (e^{x})$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (e^{x})$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sia $u = e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 6.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} y = \int \sin (u) d u$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$e^{x} y = - \cos (u) + C$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$