Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = - 6 x + 4 x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2 x$ da $- 6 x + 4 x y$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 4 x y$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2 x$ da $4 x y$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 2 x (2 y)$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 3) + 2 x (2 y)$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3 + 2 y)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} (2 x (- 3 + 2 y))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \frac{1}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Passaggio 1.3.2

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 (- 3 + 2 y)$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \cdot - 3 + 2 (2 y)$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 2 (2 y)$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 4 y$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x} d x = (- 6 + 4 y) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 6 + 4 y d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 + 4 y d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 d t + \int 4 y d t$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + \int 4 y d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + 4 y t + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + 4 y t + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\ln (| x |) + C_{1} = 4 t y - 6 t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| x |)} = e^{4 t y - 6 t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 t y - 6 t + C} = | x |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$ .

$| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{4 t y - 6 t + C}$ come $e^{4 t y - 6 t} e^{C}$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{4 t y - 6 t}$ e $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{4 t y - 6 t}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$x = C e^{4 t y - 6 t}$