Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = (1 + 4 t) \sqrt{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 4 t) \sqrt{y})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\sqrt{y}$ da $(1 + 4 t) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 1 + 4 t$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 t) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 t d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d t + \int 4 t d t$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + \int 4 t d t$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 \int t d t$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 2 t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 t^{2} + t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ come $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y = t^{2} t^{2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{2 + 2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = t^{4} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $t^{2} \frac{t}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

$t^{2}$ e $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t^{1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{4} + \frac{t^{2 + 1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

$t^{2}$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $\frac{t}{2} t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.1

$\frac{t}{2}$ e $t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t \cdot t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1} t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1 + 2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.1

Moltiplica $\frac{t}{2}$ per $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $\frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6.1

Moltiplica $\frac{t}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.7

$\frac{K}{2}$ e $t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{t}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.2

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.3

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = t^{4} + \frac{t^{3} + t^{2} K + t^{3} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $t^{3}$ e $t^{3}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + t^{2} K + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Somma $t^{2} K$ e $K t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Riordina $t^{2}$ e $K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + K t^{2} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Somma $K t^{2}$ e $K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Somma $t K$ e $K t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Riordina $t$ e $K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + K t + K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Somma $K t$ e $K t$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{3} + 2 K t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1.1

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{3}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.1.2

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.1.3

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K$ .

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.2

Dividi $t^{2} (t + K)$ per $1$ .

$y = t^{4} + t^{2} (t + K) + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = t^{4} + t^{2} t + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.4.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.4.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = t^{4} + t^{2} t^{1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = t^{4} + t^{2 + 1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.5.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 K t = 2 \cdot t \cdot K$

Passaggio 3.3.2.1.6.5.2

Riscrivi il polinomio.

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 \cdot t \cdot K + K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6.5.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4

Semplifica $t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $t^{2}$ e $K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.2

Riordina $t$ e $K$ .

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.3

Sposta $t^{3}$ .

$y = t^{4} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{3}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $K t^{2}$ .

$y = t^{4} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + K t^{2} + t^{3}$

Passaggio 3.4.5

Riordina $t^{4}$ e $\frac{{(K + t)}^{2}}{4}$ .

$y = \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{4} + K t^{2} + t^{3}$