Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 3 y)}{2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{(x + 3 y)}{2 x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{3 y}{2 x}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{3 y}{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{3}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{3}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{3}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{3}{2 x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 y}{2 x}$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.2.4.2.5

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Passaggio 3.3

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} (2 x)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.5

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.6

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{\frac{5}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.7.6.2

Somma $- 2$ e $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Passaggio 7.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 7.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 7.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 7.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 7.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 7.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Somma $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.1.2.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Dividi $2$ per $2$ .

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Semplifica.

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$