Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $7$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Passaggio 4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$6 + K = 7$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 7 - 6$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $6$ da $7$ .

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$