Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 2.3.3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

$\frac{3}{2 π}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\cos (π x)$ e $\frac{3}{2 π}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (π x)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$