Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \sqrt{4 x - 1}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \sqrt{4 x - 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 4 x - 1$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 4 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2.3.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 2.3.6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + K$