Calcolo Esempi

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Passaggio 3.3

$- 2$ e $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y$ da $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Nega l'esponente di $e^{- 3 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Passaggio 4.3.3.3.2

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 4.3.4.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4.3.5

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

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Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.2.1

$e^{3 x}$ e $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Passaggio 5.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ come $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Passaggio 6.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$