Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x - y$

Passaggio 1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + y = 4 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (4 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 4 x e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 4 x e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 4 x e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int 4 x e^{x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = 4 \int x e^{x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 7.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{4 x e^{x} - 4 e^{x} + C}{e^{x}}$