Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ quando $y (3) = 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.4.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C | x | - 3$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x | - 3$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $3$ in $y = C | x | - 3$ .

$3 = C | 3 | - 3$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C | 3 | - 3 = 3$ .

$C | 3 | - 3 = 3$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Passaggio 6.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 C = 3 + 3$

Passaggio 6.3.2

Somma $3$ e $3$ .

$3 C = 6$

Passaggio 6.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 C = 6$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 C = 6$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.3.1

Dividi $6$ per $3$ .

$C = 2$

Passaggio 7

Sostituisci $2$ a $C$ in $y = C | x | - 3$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $2$ a $C$ .

$y = 2 | x | - 3$