Calcolo Esempi

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$x e^{- t} d x = t d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $e^{- t}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $e^{- t}$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ come $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$e^{- t}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Passaggio 2.2.3.2.2

$\frac{e^{- t}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $\frac{1}{2} e^{- t}$ ciascun termine in $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $\frac{1}{2} e^{- t}$ ciascun termine in $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Moltiplica $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.3.1

$t$ e $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2

$y$ e $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.5

$\frac{1}{2}$ e $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.7

$K$ e $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Passaggio 3.1.3.1.8

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2$ da $2 y t + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ come $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ per $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ per $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.5.2

Eleva $\sqrt{e^{- t}}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Passaggio 3.3.5.3

Eleva $\sqrt{e^{- t}}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.6

Riscrivi ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ come $e^{- t}$ .

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Passaggio 3.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{- t}}$ come $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.6.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.5.6.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.6.5

$- 2$ e $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.6.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.6.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.6.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.6.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Passaggio 3.3.5.6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Passaggio 3.3.5.6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Passaggio 3.3.5.6.6.2.4

Dividi $- t$ per $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Passaggio 3.3.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Passaggio 3.3.7

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$