Calcolo Esempi

$x y d y - (y^{2} + 3 x^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (y^{2} + 3 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y^{2} + 3 x^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (y^{2} + 3 x^{2})$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Passaggio 2.5

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 y = y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 y = y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x y$ a $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y$ da $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 5.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- (y^{2} + 3 x^{2})$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (y^{2} + 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- y^{2} - (3 x^{2})) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- y^{2} - 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- y^{2} - 3 x^{2}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- y^{2} - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- (y^{2} + 3 x^{2})$ come $- 1 (y^{2} + 3 x^{2})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.11.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.11.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.12

$y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $\frac{1}{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $2$ per $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.4

$\frac{1}{2 x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.10

$- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.11

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.12

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Somma $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3}{x} = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $\frac{3}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- \frac{3}{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 14.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 14.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$g (x) = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 14.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 14.7

Semplifica.

$g (x) = - 3 \ln (| x |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - 3 \ln (| x |) + C$

Passaggio 16

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln ({| x |}^{3}) + C$