Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x e^{x^{2} - y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x^{2} - y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x^{2} - y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{x^{2} - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x^{2} - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 x - y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 2 x = x v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (x v)$ come $- (x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - 1 \cdot (- 2 x)$

Passaggio 5.1.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (- 2 x)$ come $- (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - (- 2 x)$

Passaggio 5.1.2.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v + 2 x$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (- x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica $(- x v + 2 x) v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - x v \cdot v + 2 x v$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.2.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x (v \cdot v) + 2 x v$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x v^{2} + 2 x v$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Sposta $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 x v$

Passaggio 5.1.4.2.1.4

Sposta $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 v x$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $- 1 v^{2}$ come $- v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - v^{2} x + 2 v x$

Passaggio 5.2

Scomponi $v x$ da $- v^{2} x + 2 v x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $v x$ da $- v^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + 2 v x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $v x$ da $2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + v x (2)$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $v x$ da $v x (- v) + v x (2)$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v + 2)$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v (- v + 2)}$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v x (- v + 2))$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $v (- v + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $v (- v + 2)$ da $v x (- v + 2)$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) (x))$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) x)$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = x$

Passaggio 5.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v (- v + 2)} d v = x d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v (- v + 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (- v + 2)$ .

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $- v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.1.2

Dividi $A (- v + 2)$ per $1$ .

$1 = A (- v + 2) + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (- v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = - A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = - A v + 2 A + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.5

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = - A v + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Sposta $A$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Riordina $B$ e $v$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.6.3

Sposta $2 A$ .

$1 = - v A + B v + 2 A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + B$ con $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{- v + 2}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v + 2)}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v - 1 \cdot - 2)}$

Passaggio 6.2.1.5.6

Scomponi $- 1$ da $- v - 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- (v - 2))}$

Passaggio 6.2.1.5.7

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.7.1

Riscrivi $- (v - 2)$ come $- 1 (v - 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- 1 (v - 2))}$

Passaggio 6.2.1.5.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{v - 2} d v) = \int x d x$

Passaggio 6.2.7

Sia $u_{2} = v - 2$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Sia $u_{2} = v - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.1

Differenzia $v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [v - 2]$

Passaggio 6.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v - 2$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.7.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Passaggio 6.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int x d x$

Passaggio 6.2.9

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int x d x$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica le espressioni nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.1.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ per $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ nel numeratore.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + 2 C$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$

Passaggio 7.4

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.6

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 7.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.4

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 7.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 7.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 8.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x^{2} - y}$ .

$e^{x^{2} - y} = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{2} - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{x^{2} - y})$ spostando $x^{2} - y$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x^{2} - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x^{2} - y$ per $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato destro.

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Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$ come $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3.3

Espandi $\ln (e^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \ln (e)$

Passaggio 10.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2}$

Passaggio 10.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.4.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2}$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.5.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 10.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (C | u_{2} |)$ e semplifica.

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Passaggio 10.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (C | u_{2} |)$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Passaggio 10.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Passaggio 10.6.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Passaggio 10.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.6.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 10.6.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ come $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$