Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica $\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per scrivere $\frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y + 1) x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

$\frac{d y}{d x}$ e $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.2.2

Riordina i fattori di $(y + 1) x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{x^{2} (y + 1)} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2}) + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot 1) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.4.2

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x}) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.1.5

Riordina i fattori in $\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Passaggio 1.1.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 1.1.3

Risolvi l'equazione per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sottrai $y {(x - 1)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $\frac{d y}{d x} x^{2}$ da $\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Scomponi $\frac{d y}{d x} x^{2}$ da $\frac{d y}{d x} y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Scomponi $\frac{d y}{d x} x^{2}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1 = - y {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Scomponi $\frac{d y}{d x} x^{2}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.3.3

Dividi per $x^{2} (y + 1)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Dividi per $x^{2} (y + 1)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} (- \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{y}{y + 1}$ per $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y + 1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $y + 1$ da $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $y + 1$ da $(y + 1) x^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) (x^{2})}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $y$ da $y {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y ({(x - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {u_{1}}^{2} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{2} = u_{1} + 1$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{2} = u_{1} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(u_{2} - 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2}$ e ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Passaggio 2.3.6.3

Sposta ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.6.4

Riscrivi ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Passaggio 2.3.8

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.3

Sposta ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.4

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Riscrivi ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ come $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.4

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.5

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.6

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.7

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.8

Riordina ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ e $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.11

Somma $1$ e $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.12.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.3.9.12.2

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.13

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.14

Eleva $u_{3}$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.3.9.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.16

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.18

Sottrai $3$ da $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.19

Metti in evidenza il valore negativo.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.22

Sottrai $3$ da $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.23

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.23.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.23.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.23.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.24

Metti in evidenza il valore negativo.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.27

Sottrai $3$ da $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.28

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.28.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.28.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.28.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.28.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.28.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.28.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.29

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.30

Moltiplica ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.31

Sottrai ${u_{3}}^{- 1}$ da $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.9.32

Riordina ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ e $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 2.3.12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 2.3.13

L'integrale di ${u_{3}}^{- 1}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 2.3.14

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 2.3.15

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C_{6})$

Passaggio 2.3.16

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con ${u_{2}}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.17.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1

Combina i termini opposti in $- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.1.2

Somma $x$ e $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.1.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.1.4

Somma $x$ e $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.1.5

Somma $- 1$ e $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.1.6

Somma $x$ e $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.3

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.2.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.2.4.2

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.4.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 \ln (x^{2})$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.1.3

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - - \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = 1 \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.3

Moltiplica $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.4.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.4.3

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.4.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.5.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x}$ nel numeratore.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.5.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.5.4

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.4.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{- 1}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - - \frac{1}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.5.2

Moltiplica $- - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + 1 \frac{1}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.18.5.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{1}{x} + C_{7}$

Passaggio 2.3.19

Riordina i termini.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C_{7}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y + \ln (| y |) = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C$