Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} x^{3} d x + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{x^{4}}{8} + \frac{2 x^{3}}{9} - 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{8} x^{4} + \frac{2}{9} x^{3} - 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{8} x^{4} + \frac{2}{9} x^{3} - 4 x + K$