Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (4 y^{- 2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{- 2}} y^{- 2}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $y^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{2} y^{- 2}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.3.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 (y^{- 2} y^{2})$

Passaggio 1.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2 + 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{0}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $4 y^{0}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 4 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 4 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $y^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 4 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (4 x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (4 x + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (4 x) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y^{3} = 12 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{12 x + 3 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $3$ da $12 x + 3 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (4 x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $3$ da $3 (4 x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (4 x + K)}$