Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Passaggio 1.3.2

$7$ e $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Passaggio 1.3.3

$x$ e $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

Passaggio 1.3.4

Combina.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $\ln^{8} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Passaggio 1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Passaggio 1.3.6.2

Dividi $7 (x)$ per $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = \ln (y)$ . Allora $d u = \frac{1}{y} d y$ , quindi $y d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = \ln (y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2.1.1.2

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{8}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{9}$ e $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{7}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$9$ e $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

Passaggio 3.3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

Passaggio 3.3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Scomponi $9$ da $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Scomponi $9$ da $\frac{63 x^{2}}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Scomponi $9$ da $9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Passaggio 3.3.4.2.1.3

Scomponi $9$ da $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

Passaggio 3.3.4.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.3.1

$K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

Passaggio 3.3.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 3.3.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

Passaggio 3.3.4.2.5

$9$ e $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

Passaggio 3.3.4.2.6

Riscrivi $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ come $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ .

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$