Calcolo Esempi

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

$\frac{1}{4}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$