Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 5 x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x y$ da $4 x^{2} y - 5 x y$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x y$ da $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) - 5 x y$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x y$ da $- 5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) + x y (- 5)$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x y$ da $x y (4 x) + x y (- 5)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x - 5)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (4 x - 5))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $y$ da $x y (4 x - 5)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x - 5)$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x) + x \cdot - 5$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x + x \cdot - 5$

Passaggio 1.3.4

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x - 5 \cdot x$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x) - 5 \cdot x$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 5 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

$\frac{4}{3}$ e $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2.2

$x^{2}$ e $\frac{5}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} + C}$

Passaggio 3.3.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$ come $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$