Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina $y^{2}$ e $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $4$ da $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi $4$ da $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi $4$ da $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi $4$ da $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi $4$ da $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi $4$ da $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Riscrivi $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ come $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 4)$ , considera solo $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $4$ a $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Passaggio 6.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 6.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ come ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Combina i termini opposti in $9 + 0 + K + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1.1

Somma $9$ e $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3.1.2

Somma $9 + K$ e $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Semplifica.

$9 + K = 1^{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 + K = 1$

Passaggio 6.5

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - 9$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$K = - 8$

Passaggio 7

Sostituisci $- 8$ a $K$ in $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- 8$ a $K$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $8$ da $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Passaggio 7.2.2

Riordina i termini.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$