Calcolo Esempi

$y - x \frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$

Passaggio 1.2

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Passaggio 1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $x$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (6 x^{2})}{- x}$

Passaggio 1.5.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{6 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (6 x^{2})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.7

Scomponi $y$ da $\frac{y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $\frac{1}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 6 \cdot x^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{1}{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 \frac{1}{x} x^{2}$

Passaggio 3.4

$- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} x^{2}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 x$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 6 x$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 6 x d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int - 6 x d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} y = - 6 \int x d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{- 6}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} y = \frac{- 3}{1} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{x} y = - 3 x^{2} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = - 3 x^{2} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- 3 x^{2} + C) x$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(- 3 x^{2} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 3 x^{2} x + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = - 3 (x \cdot x^{2}) + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = - 3 (x^{1} x^{2}) + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - 3 x^{1 + 2} + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$y = - 3 x^{3} + C x$