Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $\frac{1}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Passaggio 4.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $42$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $6$ per $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Passaggio 4.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Passaggio 4.2.4.4

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Passaggio 4.2.6

Somma $7$ e $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{13}{42}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $13$ da $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{71}{42}$ a $K$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{71}{42}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$