Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = 8 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (8 x)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = 8 \frac{1}{x} x$

Passaggio 1.2.2

$8$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{8}{x} x$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{8}{x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = 8$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x} d x = 8 d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x} d x = \int 8 d y$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int 8 d y$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\ln (| x |) + C_{1} = 8 y + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| x |) = 8 y + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| x |)} = e^{8 y + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| x |) = 8 y + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{8 y + C} = | x |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| x | = e^{8 y + C}$ .

$| x | = e^{8 y + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{8 y + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{8 y + C}$ come $e^{8 y} e^{C}$ .

$x = \pm e^{8 y} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{8 y}$ e $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{8 y}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$x = C e^{8 y}$