Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 6 - y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{6 - y}$ .

$\frac{1}{6 - y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{6 - y} (6 - y)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $6 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6 - y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{6 - y} (6 - y)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6 - y} \frac{d y}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{6 - y} d y = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{6 - y} d y = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 6 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 6 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 - y$ .

$- \ln (| 6 - y |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \ln (| 6 - y |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 6 - y |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 6 - y |) = t + C$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 6 - y |) = t + C$ .

$\frac{- \ln (| 6 - y |)}{- 1} = \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 6 - y |)}{1} = \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 6 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 6 - y |) = \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 6 - y |) = - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot t$ come $- t$ .

$\ln (| 6 - y |) = - t + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 6 - y |) = - t - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 6 - y |) = - t - C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 6 - y |)} = e^{- t - C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 6 - y |) = - t - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- t - C} = | 6 - y |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 6 - y | = e^{- t - C}$ .

$| 6 - y | = e^{- t - C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$6 - y = \pm e^{- t - C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{- t - C} - 6$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- t - C} - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- t - C} - 6$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- t - C}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- t - C}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- t - C}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- t - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- t - C}) + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- t - C})$ come $- (\pm e^{- t - C})$ .

$y = - (\pm e^{- t - C}) + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- t - C}) + 6$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm e^{- t + C}) + 6$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- t + C}$ come $e^{- t} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- t} e^{C}) + 6$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- t}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- t}) + 6$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C e^{- t}) + 6$