Calcolo Esempi

$\frac{x^{5} + 3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x^{5} + 3 y}{x}$ in due frazioni.

$\frac{x^{5}}{x} + \frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{x^{5}}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Riordina i termini.

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$- \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$

Passaggio 1.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x}}{- 1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

Passaggio 1.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

Passaggio 1.6

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

Passaggio 1.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{3}{x} y}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

Passaggio 1.8

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x}}{- 1}$

Passaggio 1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}}}{- 1}$

Passaggio 1.8.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

Passaggio 1.8.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

Passaggio 1.8.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{4}}{1}}{- 1}$

Passaggio 1.8.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- x^{4}}{- 1}$

Passaggio 1.9

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{x^{4}}{1}$

Passaggio 1.10

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = x^{4}$

Passaggio 1.11

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3 y}{x} = x^{4}$

Passaggio 1.12

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cdot \frac{3}{x}) = x^{4}$

Passaggio 1.13

Riordina $y$ e $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3}{x} y = x^{4}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 \cdot \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 3}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Somma $2$ e $3$ .

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$