Calcolo Esempi

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Somma $\ln (x^{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Espandi $\ln (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$