Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = y^{4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 4}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 y^{3}, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 y^{3}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $3 y^{3}$ ciascun termine in $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ per $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 y^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 3 t y^{3} + K (3 y^{3})$

Passaggio 3.2.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 3 t y^{3} + 3 K y^{3}$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $3 y^{3}$ da $3 t y^{3} + 3 K y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $3 y^{3}$ da $3 t y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 K y^{3} = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $3 y^{3}$ da $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $3 y^{3}$ da $3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (t + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $3 (t + K)$ ciascun termine in $3 y^{3} (t + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $3 (t + K)$ ciascun termine in $3 y^{3} (t + K) = - 1$ .

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $t + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{3 (t + K)}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.4

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}})$

Passaggio 3.3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (t + K)} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ alla potenza di $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.3.5.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}$ come $3 (t + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ come ${(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{({(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.5

Semplifica.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.5.8.2

Applica la regola del prodotto a $3 (t + K)$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

Passaggio 3.3.5.8.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$