Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x - y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x - y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{x - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Passaggio 5

Moltiplica per $- v$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ per $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Scomponi $v$ da $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Passaggio 6

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $v$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 8

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 9

Trova la derivata di $v^{- 1}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova la derivata di $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 9.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 9.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1

Moltiplica $v$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 10

Sostituisci $- \frac{v'}{v^{2}}$ a $\frac{d v}{d x}$ e $v^{- 1}$ a $v$ nell'equazione originale $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica per $- v^{2}$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ per $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.2

Scomponi $v^{2}$ da $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5

Moltiplica $v^{- 1}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.5.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.6

Semplifica $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.8

Moltiplica $v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3.2

Moltiplica $v^{- 2}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.2.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.2.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.3

Semplifica $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.4

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Passaggio 11.1.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Passaggio 11.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 11.2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 11.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 11.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Passaggio 11.3.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Passaggio 11.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Passaggio 11.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Passaggio 11.6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Passaggio 11.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Passaggio 11.7.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Passaggio 11.7.3

Semplifica.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Passaggio 11.8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.3.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 11.8.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 12

Sostituisci $v^{- 1}$ a $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 14

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Passaggio 14.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Espandi $\ln (e^{- x + y})$ spostando $- x + y$ fuori dal logaritmo.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Passaggio 14.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $- x + y$ per $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Passaggio 14.3

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$