Calcolo Esempi

$x d y = (x^{5} + 3 y) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $(x^{5} + 3 y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x d y - (x^{5} + 3 y) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (x^{5} + 3 y)$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{5} + 3 y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (x^{5} + 3 y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 3 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y])$

Passaggio 2.4

Poiché $x^{5}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{5}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [3 y])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [3 y]$

Passaggio 2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $- 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 3 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 3 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 - 1}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{- 3 - 1}{x}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$\frac{- 4}{x}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $- 4$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- (x^{5} + 3 y)$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- (x^{5} + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- x^{5} - (3 y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- x^{5} - 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- x^{5} - 3 y$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{5} - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{5}$ .

$\frac{- (x^{5}) - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$\frac{- (x^{5}) - (3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{5}) - (3 y)$ .

$\frac{- (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- (x^{5} + 3 y)$ come $- 1 (x^{5} + 3 y)$ .

$\frac{- 1 (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.11.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{3}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{1}{x^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{x^{3}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}} + g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x^{3}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.5.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2.3

$y$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$- \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1.1

Somma $\frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y + x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Combina i termini opposti in $- 3 y + x^{5} + 3 y$ .

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Passaggio 13.1.1.3.1

Somma $- 3 y$ e $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5} + 0}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Somma $x^{5}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1.1.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{1} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2.4

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = - x$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- x$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int x d x$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 14.5

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 16

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + C$