Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.3

Sia $u_{1} = 3 t$ . Allora $d u_{1} = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sia $u_{1} = 3 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.4

$\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.6

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Passaggio 1.7

Sia $u_{2} = 3 t$ . Allora $d u_{2} = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sia $u_{2} = 3 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 1.7.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 1.8

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Passaggio 1.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 1.10

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Passaggio 1.11

Semplifica.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Passaggio 1.12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Passaggio 1.12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Passaggio 1.13

Riordina i termini.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- \frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.3

Sia $u_{3} = 3 t$ . Allora $d u_{3} = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sia $u_{3} = 3 t$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 3.3.3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.4

$\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.7

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.9

Sia $u_{4} = 3 t$ . Allora $d u_{4} = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Riscrivi usando $u_{4}$ e $d$ $u_{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Sia $u_{4} = 3 t$ . Trova $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 3.3.9.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.3.9.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.3.9.2

Riscrivi il problema usando $u_{4}$ e $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.10

$\sin (u_{4})$ e $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.11

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{4}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.12.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.13

L'integrale di $\sin (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Passaggio 3.3.14

Applica la regola costante.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Passaggio 3.3.15

Semplifica.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Passaggio 3.3.16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Passaggio 3.3.16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Passaggio 3.3.17

Riordina i termini.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$