Calcolo Esempi

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $(x - y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (x - y)$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (x - y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $\frac{d}{d y} [y]$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + y$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 1$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$1 = 1$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Passaggio 6

Integra $M (x, y) = - (x - y)$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Passaggio 6.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Passaggio 6.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Passaggio 9.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

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Passaggio 9.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2} - y x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.4

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y x$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.7

Sottrai $x$ da $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.3.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Passaggio 9.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 10.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Passaggio 10.1.2

Combina i termini opposti in $x + y - x$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Passaggio 10.1.2.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $y$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Passaggio 11.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- (- y x)$ .

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.4

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$