Calcolo Esempi

$(x + y) d y - y d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- y d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + y$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 1 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- y$ a $M$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- y$ a $M$ .

$\frac{1 + 1}{- y}$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{- y}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $- y$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- y d x + (x + y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- y \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $x + y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x + y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Passaggio 9.2

$x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x}{y} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{x}{y}$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.5.2

$x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1.1

Sottrai $\frac{x + y}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Sottrai $y$ da $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

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Passaggio 13.1.1.6.1.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1.1.6.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $\frac{1}{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{y}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 14.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$