Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{2}}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{2})}{y^{2} x}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{2})}{y^{2} x}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- 1 = \ln (x^{4}) y + C y$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina i fattori in $\ln (x^{4}) y + C y$ .

$- 1 = y \ln (x^{4}) + C y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y \ln (x^{4}) + C y = - 1$ .

$y \ln (x^{4}) + C y = - 1$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $y \ln (x^{4}) + C y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $y \ln (x^{4})$ .

$y (\ln (x^{4})) + C y = - 1$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $C y$ .

$y (\ln (x^{4})) + y C = - 1$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y (\ln (x^{4})) + y C$ .

$y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $\ln (x^{4}) + C$ ciascun termine in $y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $\ln (x^{4}) + C$ ciascun termine in $y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$ .

$\frac{y (\ln (x^{4}) + C)}{\ln (x^{4}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x^{4}) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (\ln (x^{4}) + C)}{\ln (x^{4}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{\ln (x^{4}) + C}$