Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 8 x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 5 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{5 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

Passaggio 1.4

$\frac{5}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 6.2

Sia $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Allora $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

Passaggio 6.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Passaggio 6.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Passaggio 6.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6.2.1.3.2

$\frac{5}{2}$ e $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6.2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 6.2.1.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.4.1

$2$ e $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

Passaggio 6.2.1.3.4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

Passaggio 6.2.1.3.4.3

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.4.4

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.4.4.1

Scomponi $2$ da $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Passaggio 6.2.1.3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.1.3.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

Passaggio 6.2.1.3.4.4.2.4

Dividi $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ per $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Passaggio 6.2.1.3.4.5

Riordina i fattori in $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

Passaggio 6.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi $8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ come $8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

Passaggio 6.4.2

$8$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} u_{2} + C$

Passaggio 6.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

Passaggio 6.4.4

Riordina i termini.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ e $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ da $\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Sottrai $5$ da $5$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $0$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4

Dividi $0$ per $2$ .

$y = \frac{8}{5} e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = \frac{8}{5} \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.6

Moltiplica $\frac{8}{5}$ per $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$