Calcolo Esempi

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $\sin (x) y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

Passaggio 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ è un integrale speciale. L'integrale è la funzione integrale di Fresnel.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

Passaggio 6

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = 5 S x + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = 5 S x + C$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Frazioni separate.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6.3.1.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Passaggio 6.3.1.3

Dividi $C$ per $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$