Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = 4 - 0.2 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{4 - 0.2 x}$ .

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $4 - 0.2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} d x = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{4 - 0.2 x} d x = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 4 - 0.2 x$ . Allora $d u = - 0.2 d x$ , quindi $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 4 - 0.2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 0.2}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 0.2$ per $1$ .

$- 0.2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 5}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{5}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- (5 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 0.2 x$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ .

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 4 - 0.2 x |)$ per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} + \frac{C}{- 5}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 4 - 0.2 x |)} = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} = | 4 - 0.2 x |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$ .

$| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 0.2$ ciascun termine in $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 0.2$ ciascun termine in $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ .

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Semplifica $\frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2}$ .

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Moltiplica per $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Scomponi $0.2$ da $0.2$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Frazioni separate.

$x = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $1$ per $0.2$ .

$x = 5 \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $\pm e^{\frac{- t - C}{5}}$ per $1$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + \frac{- 4}{- 0.2}$

Passaggio 3.4.4.3.1.8

Dividi $- 4$ per $- 0.2$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + 20$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t + C}{5}}) + 20$