Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.2

$4$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ da dentro l'arcotangente.

$x = \tan (4 t + K)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $\frac{π}{4}$ e $x$ con $1$ in $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $K$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$π + K = \arctan (1)$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.5

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sottrai $π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = \frac{π}{4} - π$

Passaggio 5.5.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.5.3

$- π$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Passaggio 5.5.5.2

Sottrai $4 π$ da $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Passaggio 5.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.6

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.7

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.7.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.7.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.7.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 5.7.1.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Sottrai $π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Passaggio 5.7.2.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.7.2.3

$- π$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Passaggio 5.7.2.5.2

Sottrai $4 π$ da $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.8

Trova il periodo di $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.8.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.9

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Somma $π$ a $- \frac{3 π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Passaggio 5.9.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 5.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Passaggio 5.9.4.2

Sottrai $3 π$ da $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 5.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$K = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.10

Il periodo della funzione $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.11

Consolida le risposte.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{π}{4} + π n$ a $K$ in $x = \tan (4 t + K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $\frac{π}{4} + π n$ a $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$