Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = a x + b$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int a x + b d x}$

Passaggio 1.2

Integra $a x + b$ .

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Passaggio 1.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , sposta $a$ fuori dall'integrale.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Passaggio 1.2.4

Applica la regola costante.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

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Passaggio 1.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Passaggio 1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{2}$ e $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Passaggio 1.4.2

$\frac{a}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ per $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ ciascun termine in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ ciascun termine in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.1.1

Per scrivere $b x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2

$b x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.4.1

Scomponi $x$ da $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

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Passaggio 7.3.1.4.1.1

Scomponi $x$ da $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4.1.2

Scomponi $x$ da $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4.1.3

Scomponi $x$ da $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$