Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $6$ in $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $7$ per $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Passaggio 4.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

Passaggio 4.2.1.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 3 - 7$ e $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $7$ da $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 6 + 10$

Passaggio 4.3.2

Somma $6$ e $10$ .

$C = 16$

Passaggio 5

Sostituisci $16$ a $C$ in $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $16$ a $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$