Calcolo Esempi

$(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 15 x y^{2} - 12 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2} - 12 y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x y^{2} - 12 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $15 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $15 x y^{2}$ rispetto a $y$ è $15 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 12 y$ rispetto a $y$ è $- 12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 10 x^{2} y - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y - 6 x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{2} y - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $10 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 x y - 6$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $30 x y - 12$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $20 x y - 6$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $30 x y - 12$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{30 x y - 12 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $20 x y - 6$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $10 x^{2} y - 6 x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $10 x^{2} y - 6 x$ a $N$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $20 x y$ da $30 x y$ .

$\frac{10 x y - 12 + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.5

Somma $- 12$ e $6$ .

$\frac{10 x y - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.6

Scomponi $2$ da $10 x y - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $10 x y$ .

$\frac{2 (5 x y) - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (5 x y) + 2 (- 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.2.6.3

Scomponi $2$ da $2 (5 x y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $2 x$ da $10 x^{2} y - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $2 x$ da $10 x^{2} y$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) - 6 x}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) + 2 x (- 3)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (5 x y) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $5 x y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $15 x y^{2} - 12 y$ per $x$ .

$(15 x y^{2} - 12 y) x d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(15 x y^{2} x - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta $x$ .

$(15 (x \cdot x) y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $10 x^{2} y - 6 x$ per $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) x d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y x - 6 x \cdot x) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sposta $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x \cdot x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x^{1} x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{1 + 2} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Sposta $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 (x \cdot x)) d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - 12 y x d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - 12 y x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Passaggio 8.2

Poiché $15 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $15 y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 12 y x d x$

Passaggio 8.4

Poiché $- 12 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 12 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y \int x d x$

Passaggio 8.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.6

Semplifica.

$f (x, y) = 15 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

$15$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{15}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2

Elimina il fattore comune di $15$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{5}{1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.7.4

$- 12$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y \frac{- 12 x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.7.5

$y$ e $\frac{- 12 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 12 x^{2})}{2} + C$

Passaggio 8.7.6

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.6.1

Scomponi $2$ da $y (- 12 x^{2})$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2} + C$

Passaggio 8.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Passaggio 8.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 8.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 6 x^{2})}{1} + C$

Passaggio 8.7.6.2.4

Dividi $y (- 6 x^{2})$ per $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $5 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y^{2} x^{3}$ rispetto a $y$ è $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Poiché $- 6 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y (- 6 x^{2})$ rispetto a $y$ è $- 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 11.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{2} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $6 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $10 x^{3} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Somma $- 6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y + 0 - 10 x^{3} y$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $10 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 10 x^{3} y$

Passaggio 12.1.3.3

Sottrai $10 x^{3} y$ da $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Passaggio 15

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 6 y x^{2} + C$