Calcolo Esempi

$4 x + \frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12 - 4 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (36 x^{5} + 12 - 4 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 36 \int x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 \int x d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.8.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 4 \frac{x^{2}}{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.3.1

$- 4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.8.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8.3.2.2.4

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 2 x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + K$